Aljaž Žgavc se je začel glasbeno izobraževati na Glasbeni šoli Postojna pri profesorju Matjažu Prahu. Študij petja je nadaljeval na Konservatoriju za glasbo in balet v Ljubljani pri profesorju Janku Volčanšku in ga uspešno zaključil leta 2014. Od leta 2020 študira na akademiji za glasbo v Zagrebu pri profesorici Vlatki Oršanić. Pred študijem na akademiji se je udeležil več mojstrskih tečajev, ki so jih vodili Edita Garčević Koželj, Dunja Vejzović, Snežana Nena Brzaković, Markus Brück, Thomas Heyer in Vlatka Oršanić.
Med letoma 2011 in 2021 je bil zaposlen v SNG Opera in balet Ljubljana kot zborist-solist. Doslej je v ljubljanski Operi nastopil v vlogah: služabnik (Rigoletto), poveljnik straže (Seviljski brivec), Rajdelj (Gorenjski slavček), Giuseppe (Traviata), Parpignol (La bohème), Abdallo (Nabucco), Blind (Netopir), Nazarenec (Saloma), jetnik (Fidelio), lord Artur Bucklaw (Lucia di Lammermoor), svečenik in orožnik (Čarobna piščal), kmet (Glumači).
Leta 2017 je nastopil v treh predstavah Oper in der Scheune in bil označen za obetavnega mladega tenorista. Kot zunanji sodelavec je večkrat sodeloval tudi s Slovensko filharmonijo. Leta 2018 je nastopil z Berliner Operengruppe v Verdijevi operi Giovanna d’Arco (Ivana Orleanska) in stopil na oder dvorane Sala Bison v San Valentinu (Italija) z Orffovo kantato Catulla Carmina. Leta 2021 je interpretiral vlogo Mr. Pilkingtona v operi Životinjska farma Igorja Kuljerića, ki je bila izvedena v dvorani Vatroslava Lisinskega ob 100. obletnici Glasbene akademije v Zagrebu.